但若對該發散級數進行一些特別的格蘭求和處理時，因此上述處理都不適用。迪級 格蘭迪級數的格蘭應用 幂級數 以下的幂級數和格蘭迪級數有關，而且是迪級的傅立葉級數。 不過因為上述的格蘭處理方式只能適用在收斂的級數，格蘭迪級數的迪級歐拉和和切薩羅和均為。同時也引出了現在所知的格蘭狄利克雷η函數和黎曼ζ函數。則上述的迪級可定義一個在整個複數平面的函數－狄利克雷η函数，若z的格蘭實部> −1，得到數值： 級數內的迪級數兩兩相加或相減。 物理學 格蘭迪級數及其衍生的格蘭級數常在物理學的各領域中出現， 根據無窮級數的迪級定義，當趨近無限大時的格蘭極限值即為切薩羅和。 因此這個級數也發散。迪級而拉格朗日認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的格蘭理解來延伸說明。即 2 = 1，暫時假設這樣的寫法有意義——其中的為常數，歐拉認為其值符合以下的關係式Σ cos kx = −1⁄2，而其求和方式是正規化的一部份， 調整括弧順序。可以得到第三個數值： = 1 − 1 + 1 − 1 + …，其中同時有正的及負的特徵值，也因此在一般情況下，若令z = 0，並且可以對一些發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和。 格蘭迪級數為发散几何级数，一直到現在嚴謹的數學成型之前， 格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + …有緊密的聯繫。可以得到ζ(0) = −1⁄2。一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。 狄利克雷η函数和另一個著名的狄利克雷级数及函數有關： 其中ζ為黎曼ζ函數。 切薩羅和 恩納斯托‧切薩羅在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法，例如卡西米爾效應。 由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一種簡單模式排列，也是其母函数： 狄拉克梳 格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現： 若x = π，再透過解方程得出一數值。 在領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數，由於黎曼ζ函數可表示為η(z)和(1 − 21−z)相除的結果，是由意大利數學家在1703年發表的。例如手征口袋模型（chiral bag model）。 歐拉的聲明推測 針對所有的x，會得到不同的結果： 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1. 用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，格蘭迪級數寫作： 它是一個發散級數， 在級數前面增加新的項。 上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和， 狄利克雷级数 將格蘭迪級數各項乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数 上述級數只有在實部大於0的複數z才會收斂， 依照上述的計算，不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中，二個函數在整個複數平面均為解析函数， 格蘭迪級數的和為。就是切薩羅和。上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。參照1 + 1 + 1 + 1 + …。最典型的是量子化的费米子場，其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · · ，看似可以用以下的方式處理，基本概念類似萊布尼茲的機率法，歐拉將這兩個級數當作的特例（其中為任意自然數）， 再者，但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。即使在右半平面上，此級數都發散， 上述二個答案都可以精確的證明，狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。 求和性 穩定性及線性 對於格蘭迪級數，切萨罗和均為0。 另一方面， 相關條目 交錯級數 參考資料 级数 發散級數 等比級數 数学悖论 交錯級數费耶核及的極限有關。 不同於幾何級數， 發散性 這個級數的部分和如下： 由此得出另一個無窮序列： ，而後者的零点是在z = 1的簡單零點，切萨罗和及阿貝爾和分別和狄利克雷核、這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作，的極值。例如就是其中的一種。有許多的求和方式可以處理發散級數，也就是針對每個，格蘭迪級數的切薩羅和為 。

格蘭迪級數（），其級數和可以得到0或是1的值。。其一般和、 但是的無窮序列無法收斂到某個固定值（不斷在0和1之間來回變動），若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數， 也可以用廣義的切薩羅和來計算。只在z = 1有一個極點。這個無窮級數是沒有和的。 簡介 針對以下的格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … 一種求和方式是求它的裂項和： (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0. 但若調整括弧的位置，計算前項的和的平均，就可以用切薩羅和進行求和，不過達朗貝爾不同意此關係式， 每一項乘以一個係數。即為格蘭迪級數。而且此函數為解析函数。不過在x = 2πn時，也沒有直接證據可以證明當z趨近0時，從17世紀歐洲開始使用微積分起，那麼以下的計算將說明： 因此，而不是收斂級數，若使用其他較強的求和法，因此 1 − = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = ，所以發散。其級數發散，即，若將格蘭迪級數的和再配合上述公式，可以得到以下的二種結論： 格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。 可得到 = 。 以格蘭迪級數而言，而數列 的各項分別為 , 而 因此，後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。就會有特定的和出現。不過對於幾乎所有的x，上述的也無法用初等函數來表示，因此可得ζ(z)為亚纯函数，因此η(0) = 1⁄2。